RH 2 : 오일러 상수

 

 

 

그림은 항상 이해를 돕기땀시 하나 첨부해봄다.(위의 그림은 마우스로 그림판을 이용해서 왼손으로   

 그린 논문의 여섯번째 그림임다, 저는 왼손잡이입니다.)



오늘은 사설 없이 수학적인 예기루 막바로 들어갑니다.

 

1 + 1/2 + 1/3 +......=Σ(1/k)  (k=1,2,3......)   고교시절 몇번은 봤을 이 간단한 무한급수에 대한

예기부터 오늘은 시작하렵니다. 사실 이건 ζ(1) 의 값이기두 하구 정답은 ∞ 입니다.

사실 그런데 이 무한대의 값속에 이상한 상수가 포함되어 있다는 사실은 아무도 모를것입니다.

그건 고교, 왠만한 대학수준에서두 안 배우는 내용이기 때문이죠.  대학에서두 왠만한 함수는 모두

테일러 시리즈란 급수형태루 표현된다는 사실은 배우지만 이걸 알고있는 사람은 아마도 별루 없을겁

니다. 이건 내 소논문의 말미에 잠시 언급되어 있는 내용이기두 하지요.

 

그런데 이건 중학과정서 배웠던 1/x 의 정수값에서의 합일뿐 전혀 어려운 형식이 아니죠. 수학책보며

우리가 얼마나 애먹었음니까 예전에 , 그놈의 이상스런 공식들땀시.  사실 1/x 의 그래프는 참 우아한

미적인 그래프이죠. y=x 란 대칭축에 의해 대칭을 이루는 단순하면서두 아름다운 그런거말입니다.

대칭이란 미적인 개념에서두 참 아름다울 때가 있죠.

 

위에서 언급한 상수란 소위 오일러 상수 γ(gamma) 란 수로써 그값은 0.57721......로써 수학이 뭐

발달했네 어쨋네 해두 소위 이 수가 유리수인지 무리수 인지 조차 증명이 안된 상태랍니다.

이삼백년후의 우리의 후손들이 지금개발되어 있는 현대수학을 배우느라고 꽤나 애먹을 것입니다만

사실 인간이 많이 안다허나 우리가 꽃한송이의 비밀을 다 모르듯이 별거 아닌지두 모르것슴니다.

 

자 위의 상수 감마로 돌아가면, γ=위의 급수값(∞) - ln(∞)=0.5772156649..................... 로서 꽤나

아리송한 수자 이지요. 왜 아름다운 1/x 과 γ 란 희한한 수자가 관련이 있을까요? 그건 참 자연의

비밀스런 부분이기두 한거 같슴니다, 내생각에.  자 밝혀보죠. 왜 그런지. 적분 까먹은 분들은 기냥

넘어가시고,

 

자, 정적분 들어갑니다. ∫ (1/x)dx (구간 0 에서 무한대)=∫ (x/dx)=∫ (d lnx)=ln x=ln(∞)-(-∞)=∞.

(ln은 밑수e인 log, ln(0)=-∞).  그러니까 사실 1/x 그래프의 (0,∞)구간 면적은 두번의 무한대가

들어가 있는 셈이죠. 그러나 ∞+∞=∞ 죠.  보이십니까? γ 와 위의 면적합 사이에 무엇인가 연관이

있다는 것이 말이죠.

 

보이죠? 안보이면 결론만 말허구 넘어감다. 위의 면적합은 사실 두구간 (0.1) 과 (1,∞)로 나누어

생각할수 있는데 계산 해보면 0 에서 1 구간 까지의 면적이 벌써 사실은 무한대로서, 그 오른쪽 구간

( 1부터 무한대) 면적에 1을 더한것과 같은데 , 1 이란거는  가로x세로 각각 1인 사각형 면적임다.

 

 공대 나온 친구들은 오른쪽면적이 ln(∞) 란 거는 감 잡았을것이구 왼쪽면적은 y=x 축을 대칭축으로한

대칭축을 생각허면 1 만큼 당연히 크다는 걸 아실겁니다. 여기까지는 일반인들이 생각할수 있는 부분

임다. 자 예기를 진전시킴니다. 근디사실,  오른쪽면적은  ln(∞)=Σ(1/k) - γ. (k 는 1,2......∞)임다.

 

우리가 무한대 값으로 생각할수 있는 ln(∞)=∞ 값속에 γ 란 약 0.57 이란 값을 갖는 상수값이 살포시

숨어 있는 것입니다.  수학적 예기를 하려니 자꾸 예기가 길어지네? 재미없죠?  예기를 정리허면,

 

구간 (0,1)의 면적을 A라 허면 A=Σ(1/k)+(1-γ)=B+1

구간 (1,∞)의 면적을 B라허면 B=Σ(1/k)-γ=ln(∞)  란 결과를 얻을수 있는데,

이런 예기를 하는 이유는 우리가기냥 무한대루 넘기는 부분속엔 뭔가 우리가 모르는 석연치 않은 은밀

헌 자연의 비밀같은것이 숨어있다는 것이죠. 혹자는 무한대 속에 숨어 있는 1도 안되는 0.57 정도의

상수값이 뭔 대수냐고 의문을 제기 할수 있겄으나 그기 그렇지 않다는 것이 저의 예기 하고픈 부분이죠.

 

γ 값을 다른각도에서 분석해 드리죠. 면적 B를 생각혀보면 1/x 그래프의 밑부분 과 x축이 만드는

마치 엿가락을 주욱 잡아 당길때의 모습과 비슷헌 평면상의 면적이죠뭐. 그렇죠? 그걸 좀 나누어

생각해 보죠. 구간 (1,2), (2,3),(3,4)..... 별로 보면 아까 예기헌 급수 1/2, 1/3, 1/4 ...을 밑변이 1인

직사각형의 작은면적들로 볼수 있네요. 그것과 1/x 그래프가 만드는 면적의 차이, 즉, 삼각형은 아니

지만 그것과 비슷한 면적들이 각 구간마다 생기지요. 우린 그걸 B(i) 라고 정합시다. 그러면

γ=1-ΣB(i)  ( i 는 index 로서 1,2,3,....). B(1)은 (1,2) 구간의 삼각형과 비슷헌 면적(삼각형보단 사실

면적이 조금씩 적겠죠? 1/x graph 가 약간은 밑으로 쳐진 모습이니까요).

 

아, 근디 이거 따라오구 있는 우리 친구덜 벌써 머리가 피곤혀지면 안되는디... 여러분, 머리는 자꾸

쓰라구 달려 있는거구 두뇌운동은 노화 방지에 좋은 것이랍니다. ㅋㅋㅋ. 이번 기회에 픽픽/팍팍

쓰게 맹글어 드리려함니다.

 

오늘의 주제를 정리해서 써보면 γ=lim(n→∞){Σ(1/k)-ln(n)}  (k; 1,2,3,.....)=1-ΣB(i). (i: 1,2,3,...).

A=B+1=ln(∞)+1=∞=Σ(1/k) +(1-γ).  면적 A, 즉 (0,1)구간서 (1/x ) graph가 만드는 면적이 LOG 함수

의 무한대값 +1 임과 동시에, (1+1/2+1/3+...)+(1-γ) 이지요.

 

이것은  무한대라는건 무한대를 더하건 상수를 더하건 빼거나 간에 기냥 무한대로 남아있다는 뜻이지요.

과연 무한대란 무엇일까요. 그리구 왜 이상헌 상수가 들어가 있을까요? 누구아십니까? 사실은 저두

모른답니다. 기냥 그렇다는 거죠.

 

그러나,무한대에선 우리가 쓰고 있는 숫자라는 것이 붕괴될수 있다는 사실은 제가 주장하고픈 부분이죠.

이리 생각허면 어떨까요? 사실 숫자란 0 과 1을 포함허는 [0,1] 구간이면 충분허구 다른숫자는

어떤 그림자처럼 어떤 공간에 투영된 실루엣 같은 그림자의 수치일뿐이다. 사실 수학자덜은 사영공간이란

말을 쓰기두 함니다.

 

오늘예기를 끝내기전에, 구간(1,2)에서 (1/x)이 만드는 면적은 ln 2 로서,  ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-

1/6+  ......=B(1)+(1/2).   간단한듯 보이는 log 함수의 값이 사실은 급수합이기두 하죠. 오늘은 여기까정.