RH 4 : LEONHARD EULER 란 아저씨의 이야기

 

지난 2편서 요상한 오일러상수라는걸 잠시 언급혔었는데 그걸 발견한 EULER란 아저씨에 대한

얘기를 하면서 시작하렵니다.

 

 

스위스 BASEL서 태어나 1707-1783년까지 살았으니 18세기분이죠. 자식을 13 명이나 둔 스위스분

으루 자식만큼이나 많은 논문을 써놔서 그의 저작물이 큰책으루 85권정도 된다함니다. 스위스 과학

아카데미서 그를 기념키 위해 논문발간사업을 하구 있는데 1999년까지 그중 발간된기 79 권이라하니

그 방대한 양을 미루어 짐작할 수 있겠네요.  18세기분이니 우리보다 250년 먼저 태어난 분인데 이

양반이 글쎄 진짜 엄청난 양반인거 갔슴다. 내보기에.

 

 

 

RIEMANN(1826-1866)두 목사아들 이었는디 이분두 목사아들이고 유명한 수학자를 많이 배출헌

BERNOUILLI 집안의 JOHAHN BERNOULLI(1667-1748)에게 수학을 배웠구 그아덜덜인 NICKLAUS

와 DANIEL BERNOULLI와는 친구사이라함. BERNOULLI 집안 사람덜은 잘아실까? 울 친구덜이?

 

 

 

고교시절 진성덕 선생님으로부터 BERNOULLI 방정식이라해서 여러분두 그이름을 적어도 한번쯤은

들어봤을 유체역학에 많이 쓰이는 그 방정식 말입니다. 글구 BERNOULLI NUMBER라해서 고급공학

책에 가끔씩 나오는 바로 그걸 만든 집안사람들이죠. 

 

 

1696년 JOHAHN은 세계최초의 학술지인 ACTA ERUDITORIUM(1682년 발간시작) 이란 학술지에다

" 공간상에 수직으루 서있는 평면상에 위치가 다른 두점 O와 A가 있다고 할때 높은 위치 O에서 낮은

위치 A까지 움직이는 동점이 있다고 생각해보자, 이 동점이 움직이는데 걸리는 시간이 가장 짧으려

면 동점은 어떤 곡선을 따라 떨어져야 하는가?" 란 문제를 낸적이 있는데 이때 여러 수학자가 답을

냈다고 함니다.

 

 

그중에는 라이프니츠,로피탈, 요한에게 수학을 가르쳐준 요한의 형 JACOB(JAMES BERNOULLI ,

1654-1705), 그리구 익명의 제보자(나중에 뉴톤으루 밝혀짐), 요한 자신이 모두 정답을 냈는데 이때

요한은 "사자의 발톱을 보면 그발이 사자라는걸 알 수 있다고" 했다함니다.

 

 

 

내가 이 야그를 허는 이유는 300 년전 수학수준이 만만치 않다는 걸 얘기하려는 것이구 위의 정답자

덜은 사실 근대 미적분등을 스스로 건설한사람들이죠. 참고로 위의답은 갈릴레오가 얘기헌바 있었던

CYCLOID(원통이 구를때 원주상의 한점이 만드는 궤적)라 함니다. 이걸 최단 강하선 문제라구두

허는디 이걸 풀려면 무한차원 LINEAR FUNCTIONAL (범함수) 라는기 나오구 이러한 무한차원의

최대최소치 문제를 바로 EULER가 발전시켰구 후에 자신이 수학을 잘했던 포병장교 출신인 나폴레옹

이 그리두 좋아했다던 LAGRANGE에 의해 더욱 발전됐다구 함다.

 

 

 

무한차원 미적분은 그후 1934년 러시아의 LYUSTERNIK에 의해 유한차원서 무한차원으루 확장 됐다함. 

(학부1년서 배우는 서울대 김홍종교수의 미적분학서 발췌).

 

 

 

LAGRANGE는 변분법(CALCULUS OF VARIATION)으루 유명 한가요? EULER-LAGRANGE 방정식은

아마두 공학허는 친구덜이 나 보다야 훨씬 잘 알테니 이쯤허구 오일러루 돌아감니다. 그는 철학

석사학위를 16세 (26 이아님) 에 땃구 NICKLAUS와 DANIEL의 추천으루 피터 대제가 초청하여 ST.

PETERSBURG  (러시아식 발음은 쌍뻬떼르부르그, 구쏘련명 LENINGRAD. 아름다운 에르미따쥬-

영어로는 HERMITAGE박물관이 있는 러시아의 보물창고임, 박물관으루 쓰고있는 짜르의 황궁과

수로가 아름답다함)  IMPERIAL ACADEMY에서 생의 대부분을 보내구 중간(1741-1766)에 베르린

로얄아카데미서 근무 하기두 했었다함.

 

 

 

이양반은 너무많은 논문과 책을 써서인지 생의 마지막 17년간은 눈이 먼 상태서 연구를 계속혔구,

또 자식이 많아 애덜 두명정도를 무릅에 앉혀놓구 연구를 했다는 군요.

 

 

자, 내가 쓰는 글은 수학얘기이므로 수식을 안쓰고는 진전이 안된다는 걸 알아 주시구 수식에 머리

가 질끈 허시는 친구분덜은 기냥 넘어가시기 바랍니다.  아래 수식은 요즘 괜찮다구 허는 대일외고

의 수학선생님이 아마두 애제자덜을 위해 오일러에 관해 쓴글의 내용임다. 그중에 일부를 소개허면

이런게 있답니다.

 

 

 

f(x)= sinx/x = (1/x){x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!......}

 

                  =(1-x/π) (1-x/-π)(1-x/2π) (1-x/-2π) (1-x/3π) (1-x/-3π).....

 

                  =(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)(1-x^2/16π^2)....

 

                  =1-(1/π^2 +1/4π^2 +1/9π^2 +1/16π^2+....)x^2 + (.........)x^4 -  ......

 

                  =1-x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + x^8/9!...... ( ! : factorial).

 

 

 

이양반은 더하기를 곱하기루, 곱하기를 더하기루 바꿔놓는데 특별한 재주가 있음.

 

sin(π/2) / (π/2) = {1-(π/2)^2/π^2} {1-(π/2)^2/4 π^2}.....   이를 정리허면

 

2/π = (1-1/4) (1-1/16) (1-1/36) .... =(3/4) (15/16) (35/36)..... 이걸 역수를 취허면

 

π/2 = (2x2 4x4 6x6 .....) / (1x3 3x5 5x7.....) 

 

 

잠시볼까요? 여러분이 잘아시는 π가 분자는 이사육팔장 짝수의 곱,분모는 일삼오칠구 홀수들의곱

이죠?  홀짝, 음양, 남녀, 이런 개념들이 연상되시죠?

 

 

 

좀특이헌거는 짝수가 분자에 있슴니다. 이상헌거 연상하면 안됨니다. 지금은 수학시간이거든요.

사실 맨마지막 공식은캠브리지대 수학교수인 존 왈리스가 1650년에 매우다른 방식으루 유도헌

공식이기두 하다고함니다. 어떻습니까? 우리가 초딩때 배운 원주율 파이의 다른 얼굴이 조금은

생소하게 느껴 지지 않으십니까?   오일러는 위에 소개헌 걸 이용해서

 

 

 

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +...... =ζ(2)=π^2/6 ..... ,       ζ(6) = π^6/945, .... 

  

ζ(26)= ( 1315862  /  11094481976030578125) π^26 등을 자유자재로 계산 했다고 함니다.

 

 

참고로, ζ(2)= π^2/6,  ζ(4)= π^4/90,  ζ(6)= π^6/945,  ζ(8)= π^8/9450,  ζ(10)= π^10/93555 임다.

 

(π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-......:GREGORY SERIES,     ln 2=0.693147...=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6.....)

 

(어느사이 우리는 리만제타함수 ζ(s)=Σ(1/n^s), n:1~∞ 의 오른쪽 특히 짝수쪽 값을 논의 하고 있슴다).

 

 

 

어때요 200 년전 수학 만만치 않지요? 정말루...그런데 오일러자신두 자연수의 홀수지수의 역수의합

(오일러 집안의 따님중 한분이 그걸 연구 했다면 혹 풀리지 않았을까요? ㅋㅋ 농담임다.)은 그도

계산할수가 없어 침묵으루 일관했다 하네요 . 이 홀수지수의 역수의 합은 여지껏 별 진전이 없구

단지 (p/q)π^3 꼴의 극한치를 가질 것 같다라는 예측 정도만 된다고함니다.  자연에는 참 비밀이

많은것 같습니다.

 

 

오늘은 여기까지.  재미가 있을지 모르겠네요? 우리 친구덜 한테 이런 야그가. 쩝.