RH 14 : 무한대의 실사리기 ζ ( s )

 

 

 

 

 

 

(Above two pages were quoted from John Derbyshire's book "Prime Obsession" p213,  p220 )

 

 

지난번에 리만제타함수에 대해 많이 예기 했다. 자, 그러면 그게 도대체 어떤 Mapping 인지 살펴보자.

 

맨윗 그림은 내가 손으로 서툴게 그린 것인데 그것의 오른쪽 하단부가 그걸 설명하고 있는데 그건 놀랍

게도 노자의 1장을 연상시키고, 우리의 태극기 문양을 연상시키는 그런 패턴으로 시작한다. 내가 전에

노자 1장을 울 카페에 올리고 나의 논문 맨 마지막에 그걸 인용하는 것은 다 이유가 있다.

 

그것이 그렇게 태극문양 비슷하게 시작해서는 최초의 t=14.1347... 근방에 와서는 제타(s) 평면상의 원점

(0)에서 최초로 만난다. 그런식으로 빙빙 돌다가는 가끔씩 원점을 치고 지나 가게 되는데 그게 제타함수

의 근들의 모습이다. 그러니까 ζ(ρ)=0 의 무수한 ρ 값중 t 값 하나가  결정되는 모습이다.

 

자못 신기하지 않은가?

 

 

 

난 저 모습을 보고 전율 같은걸 느낀다. 무수한 근들이 오로지 존재하는 ρ=(1/2)+ it 외의, s 평면상의

어떤 다른 수직 선들도 제타평면의 원점(0)을 통과 하지 못한다 : 이게 리만가설(RH)의 본래 모습이다.

 

 

 

 

그림은 사람들의 이해를 돕는 참 좋은 도구이기에 그림을 못 그리지만 가끔씩 여러분께 그려 보이겠다.

 

그러면 s 평면의 다른 영역(domain)의 점들은 어찌 mapping 되는지 살펴보자면 맨 마지막이 예이다.

그림의 빨간선들은 모두 ζ(s)평면상의 허수축으로만 가는 선들이고, 녹색은 실수축으로만 가는 선들

이다.

 

내가 지난번에 chaotic 하게 mapping 된다는 것이 바로 이것이다. 제타평면상의 수직선과 수평선의

달랑 두개 직선들로 들어오는 s 평면상의 curved lines (contour) 들은 저리 일정한 패턴을 갖고

서로 가지러히 얽혀서 사려져 있다( intertwined) 가는 제각기 헤어져 자기의 목적지로 가는 것이다.

 

 

마치 견우 직녀가 붙어 있다 서로 헤어지듯이. ( quite romantic......).

 

 

어떻게, 감상들이 되시는가? 친구들. 난 이런걸 즐기는 사람이다. 지금 이 순간 만이라도 여러 울 친구

들이 이걸 즐기기를 희망한다. 내가 지난번 예기했던 알프스 산정예기, 그 왼편에 존재할 걸로 예상되

던 무수한 실수값 무한대들이 (예를 들면 ζ(-2)=1^2 + 2^2 + 3^2..........) 리만전사의 무자비한 무한대

죽이기 (리만제타함수의 해석적확장과정 : analytic continuation of Riemann zeta function) 로 ζ(s)

평면상 에서 명멸하듯이 조용히 스러져 간다는 걸 상기 하시면서.

 

근디, 이 스토리를 따라오는 울 친구들이 있을라나?

                                                                                                            to be continued...